Freitag, 29. Juli 2011

Warum haben Raketen Stufen?

Während des Golden Age der Science Fiction war jedem klar, wie ein vernünftiges Raumschiff auszusehen hat: Eine schlanke, elegante, spindelförmige Rakete, die als ganzes ins All fliegt und wieder zurückkehrt, indem sie kontrolliert auf ihrem Feuerstrahl landet.

Fiktion...


Die Realität entpuppte sich jedoch als weniger poetisch: Reale Raketen bestehen aus mehreren über- oder nebeneinander angeordneten Stufen, die während des Aufstiegs in die Umlaufbahn nacheinander abgeworfen werden. Der Rücksturz erfolgt ohne Antrieb, Raumkapseln gehen an Fallschirmen nieder, das Shuttle und die Buran glitten wie Segelflugzeuge zu Boden.


...und Realität!



Im Fall des russischen Sojus-Schiffs wirft die Kapsel sogar Vorder- und Hinterteil ab (woraufhin sie verglühen), nur das mit den Kosmonauten besetzte Mittelstück kehrt zur Erde zurück.

Woran liegt diese Diskrepanz zwischen Fiktion und Realität? Wieso haben wir keine Raketen, die wie in "Tim und Struppi" komplett zum Mond und wieder zurück fliegen und unter Benutzung ihres Antriebs kontrolliert aufsetzen können?

Zur Beantwortung dieser Frage sollten wir uns die Funktionsweise von Raketen genauer ansehen.

Alle Raketenantriebe beruhen auf dem Rückstoßprinzip, das eine Anwendung der Impulserhaltung ist. Materie wird hinten ausgestoßen, wodurch die Rakete nach vorne beschleunigt wird, da der Gesamtimpuls des Systems konstant bleibt und die Rückwärtsbewegung der Reaktionsmasse durch Vorwärtsbewegung des Schiffs kompensiert werden muß. Da der Weltraum fast völlig leer ist, ist dies die einzige Möglichkeit, ein Raumschiff zu beschleunigen. Anders als Flugzeuge oder Bodenfahrzeuge können sie sich nicht an einem umgebenden Medium abstoßen. Die Schubkraft berechnet sich nach der Formel:

Fschub = v0 dm/dt + Ad * (Pi-Pa)

Dabei ist v0 ist Ausstoßgeschwindigkeit, dm/dt die Durchflussrate der Reaktionsmasse (in kg/s), Ad die Auslassöffnung der Düse und Pi-Pa die Druckdifferenz zwischen der Düsenöffnung und der Umgebung. Im Weltraum ist Pa natürlich nahezu Null.

Obwohl es so aussieht, als ob sich die Schubkraft durch eine hohe Druckdifferenz zwischen außen und innen steigern lässt, erzielt man die besten Ergebnisse mit Pi=Pa, da dann die Ausstoßgeschwindigkeit maximal ist.

Um die Reaktionsmasse zu beschleunigen, wird Energie benötigt. Bei chemischen Raketen stammt diese aus der Reaktionsmasse selbst - im Triebwerk werden Chemikalien verbrannt, die Reaktionsprodukte strömen mit hoher Geschwindigkeit aus der Düse. Bei Ionenantrieben dagegen werden ionisierte Gase durch elektrische oder magnetische Felder beschleunigt, die nötige elektrische Energie muss von Solarzellen oder kleinen Kernreaktoren geliefert werden. Kaltgasantriebe entnehmen die Energie einfach der Entspannung eines Gases aus einem Drucktank.

Um die Effizienz eines Raketenantriebs zu bestimmen, ist es nützlich zu wissen, wie effizient der Reaktionsmassenstrom in Schubkraft umgewandelt wird. Dazu dient der sog. spezifische Impuls, der die erzeugte Kraft pro ausgestoßener Masse misst:

Ispez = Fschub / (dm/dt * g).

g = 9.81 m s^-2 ist hier die Beschleunigung an der Erdoberfläche. Sie dient nur zur Skalierung. Der spezifische Impuls hat die Einheit Sekunde. Je größer er ist, desto mehr Kraft erzeugt die Rakete pro kg Reaktionsmasse. Er sagt jedoch noch nichts über die tatsächliche Schubkraft aus: Auch ein Antrieb mit hohem Ispez kann über eine durchaus geringe Schubkraft verfügen, wenn er nur wenig Masse pro Sekunde auswirft. Ionenantriebe haben zum Beispiel einen höheren spezifischen Impuls als chemische, weil jedoch nur wenig Gas pro Sekunde ausströmt, ist die erzeugte Kraft viel niedriger, weshalb man sie auch nicht für Bodenstarts verwenden kann.

Wie berechnet man den gesamten Geschwindigkeitszuwachs, den ein Raketenantrieb liefert? Die Formel dafür fand zu Beginn des 20. Jahrhunderts der russische Physiklehrer Konstantin Ziolkowski. Seine berühmte Raketenformel lautet:

Delta v = Ispez*g * ln(Mvoll/Mleer)

Delta v ist die gesamte Änderung der Geschwindigkeit, die eine Rakete durchzuführen vermag - die wichtigste Leistungsgröße eines Raketenantriebs. Während man bei einem Bodenfahrzeug oder Flugzeug die Reichweite pro Tankinhalt angibt, nennt man bei einem Raumschiff die maximale Geschwindigkeitsänderung. Die Reichweite im Weltraum ist mangels Reibung nahezu unendlich: Auch bei abgeschaltetem Triebwerk driftet ein Raumschiff immer weiter ohne zur Ruhe zu kommen.

Mvoll und Mleer sind die Massen der vollgetankten bzw. leergeflogenen Rakete, ln steht für den natürlichen Logarithmus.

Bei Vernachlässigung der Druckdifferenz in der Schubkraftformel vereinfacht sich die Gleichung zu:

Delta v = v0 * ln(Mvoll/Mleer)

Dies ist ihre bekannteste Form. Den Quotienten R=Mvoll/Mleer nennt man Massenverhältnis. Man kann ihn auch schreiben als R = Mts/Mleer + 1 wobei Mts die Treibstoffmasse ist. Bei bekanntem Delta v und v0 kann man R errechnen aus:

R = exp(Delta v / v0).

exp steht für die Exponentialfunktion (Umkehrfunktion des Logarithmus).

Man sieht sofort, dass die Leistungsfähigkeit einer Rakete nur vom Massenverhältnis und der Ausstoßgeschwindigkeit abhängt - zumindest solange man "Leistungsfähigkeit" nur auf die erzielbare Geschwindigkeitsänderung bezieht! Die Formel sagt nichts darüber aus, wie schnell diese Geschwindigkeitsänderung erfolgt. Ionenantriebe haben einen viel höheren spezifischen Impuls als chemische (rund zehnmal größer), und können dadurch ein sehr hohen Delta v erzielen. Der Massendurchstrom dm/dt durch sie ist aber extrem gering, weswegen sie auch nur eine ganz kleine Schubkraft erzeugen: Bis der Tank leer ist und die volle Geschwindigkeitsänderung stattgefunden hat, vergehen Wochen oder Monate.

Um zu zeigen, wieso man im Fall chemischer Raketen auf Stufensysteme angewiesen ist, betrachten wir die Aufgabe, eine Masse von 1000 kg in eine niedrige Erdumlaufbahn zu bringen. Hierzu muss die sogenannte Erste Kosmische Geschwindigkeit v1 = 7900 m/s erreicht werden (die Umlaufgeschwindigkeit auf einer niedrigen Kreisbahn). Hinzu kommen Bremseffekte durch die Erdanziehung und den Luftwiderstand beim Aufstieg, die sich zu einer benötigten Zusatzgeschwindigkeit von vdrag = ~ 2000 m/s addieren. Die Rakete muss also v1 + vdrag = 9900 m/s gewinnen! Da wir noch etwas Spielraum für Kurskorrekturen haben wollen, runden wir auf auf Delta v = 10 000 m/s.

Wir wählen den stärksten chemischen Treibstoff: H2/O2 - Flüssigwasserstoff und -sauerstoff. Diese bieten einen spezifischen Impuls von Ispez = 450 s. Das entspricht einer Ausstromgeschwindigkeit von v0 = Ispez * g = 450 s * 9.81 m/s^2 = 4414.5 m/s.

Damit erhalten wir für R:

R = exp(10 000 m/s / 4414.5 m/s) = 9.63.

Eine solche Rakete kann man aus technischen Gründen kaum bauen. Ab einer gewissen Größe würden die Drucktanks mit den Flüssiggasen unter ihrem eigenen Gewicht bersten. In der Praxis werden Raketen bereits ab R>4 unökonomisch.

Wie lässt sich diesem Dilemma beikommen?

Die Lösung ist verblüffend einfach: Man erhöht R indem man leergebrannte Tanks unterwegs abwirft. Das lässt sich am einfachsten realisieren, wenn man die Rakete aus vielen kleineren über- oder nebeneinander angeordneten "Miniraketen" aufbaut - eben Raketenstufen! Sobald eine Stufe leergebrannt ist, wird sie abgesprengt, und die darüber liegende zündet. Dadurch wird die Rakete leichter und leistungsstärker: Aufgebrauchte Stufen müssen nicht mitbeschleunigt werden, Endgeschwindigkeit und Nutzlast wachsen.

Ein zusätzlicher Vorteil dieser Methode besteht darin, dass man für die einzelnen Stufen verschiedene Triebwerkssysteme wählen kann - für die unteren welche, die für Bodenstart und Atmosphärenflug geeignet sind, für die oberen solche, die im Weltraum ihre maximale Leistung entfalten.

Man zeigt leicht, dass sich die Massenverhältnisse der einzelnen Stufen zum Gesamtmassenverhältnis der ganzen Rakete aufmultiplizieren. Auf diese Weise kann man Raketen mit sehr großen R bauen. Die riesige Saturn V, mit der die Astronauten in den 60er und 70er Jahren zum Mond flogen, hatte ein Massenverhältnis von 22, das Space Shuttle immerhin eines von 16.

Die von den einzelnen Stufen erzeugten Geschwindigkeitszunahmen addieren sich natürlich ganz einfach:

Delta v = Isp1 * g * ln(R1)  +  Isp2 * g * ln(R2)  +  ....

Nehmen wir vereinfachend an, dass die Stufen Treibstoff mit gleichem spezifischem Impuls Isp nutzen, können wir dies umformen zu:

Delta v = Isp * g * ln(R1*R2*...).

Die einzelnen Massenverhältnisse multiplizieren sich also auf zum effektiven Massenverhältnis Reff = R1*R2*...

Um 1000 kg auf 10 000 m/s zu beschleunigen, genügt es daher, zwei Stufen übereinander anzuordnen. Wir benutzen der Einfachheit halber identische Stufen, jede mit R = SQRT(9.63) = 3.1, so das Reff = R * R = 9.63 (SQRT steht für die Quadratwurzel).

Wir designen unsere Rakete nun von oben nach unten. Für die Oberstufe gilt:

R2 = 3.1 = 1 + Mts2/(Mpl + Mstrukt2),

wobei Mpl = 1000 kg die Nutzlast ist ("Payload") und Mstrukt2 die "Strukturmasse" der Stufe (Tanks, Hülle, Leitungen, Pumpen, Triebwerke, etc). Unter der Annahme, dass Mstrukt2 = 10 000 kg, lässt sich die obige Gleichung nach der Treibstoffmasse Mts2 auflösen:

Mts2 = (R2 - 1)*(1000 kg + 10 000 kg) = 23 100 kg.

Wir benötigen also immerhin über 23 Tonnen Treibstoff!

Die Unterstufe hat nun sowohl ihr eigenes Gewicht wie das der gesamten (vollgetankten) Oberstufe plus Nutzlast zu tragen. Es gilt:

R1 = 3.1 = 1 + Mts1/(M2 + Mstrukt1).

M2 ist jetzt die gesamte Masse der vollen Oberstufe plus Nutzlast: M2 = Mts2 + Mstrukt2 + Mpl = 23100 kg + 10000 kg + 1000 kg = 34100 kg.

Mit Mstrukt1 = 30 000 kg (die Unterstufe muss ja wesentlich robuster sein, da das ganze Gewicht der Oberstufe auf ihr lastet), ergibt sich:

Mts1 = (R1 - 1)*(34100 kg + 30000 kg) = 134 610 kg.

Die Unterstufe enthält damit fast 135 Tonnen Treibstoff.

Bei realen Designs benutzt man natürlich von Stufe zu Stufe unterschiedliche Treibstoffe. Für die unteren setzt man meist Antriebssysteme mit niedrigem spezifischem Impuls aber hoher Schubkraft ein, für die oberen Systeme mit hohem spezifischem Impuls und niedrigerer Schubkraft.

Bislang sind alle Raketen, die in der Lage sind, Lasten vom Erdboden in eine Umlaufbahn zu bringen, mehrstufig ausgelegt. Auf dem Mond kommt man dagegen wegen der geringeren Gravitation durchaus auch mit einer einzelnen Stufe aus: Das Aufstiegsmodul, dass die Apolloastronauten nutzten, um zum Mutterschiff zurückzukehren, war einstufig.

Jeder Science-Fiction-Fan, und jeder Freund technologischer Ästhetik findet Mehrstufensysteme natürlich unglaublich unschön. Man möchte schließlich in einem silbernen Projektil "aus einem Guß" ins All reisen und nicht etwa auf einem Turm aus Treibstofffässern, die nacheinander wegbrechen. Aber es gibt auch praktische Gründe, aus denen Raumfahrtingenieure schon seit einiger Zeit über SSTO-(Single Stage to Orbit)-Systeme nachdenken: Je mehr Komponenten ein System hat, desto größer ist das Risiko, dass irgendetwas schief geht! Die Stufenabtrennung ist jedesmal ein kritischer Zeitpunkt: Das Abtrennen der ausgebrannten Stufe kann fehlschlagen, oder die Zündung der darüberliegenden, oder die Stufen können kollidieren. Ein einstufiges System wäre robuster und weniger fehleranfällig.

Es wurde schon über viele verschiedene SSTO-Ansätze nachgedacht. Eine beliebtes Konzept ist ein Weltraumflugzeug, dass von einer normalen Startbahn abhebt, bis in die Umlaufbahn aufsteigt, wieder landet und schon wenige Tage später wieder einsatzbereit ist - fast wie ein normales Düsenflugzeug. Der Trick besteht hier darin, während des Fluges in der Atmosphäre den Luftsauerstoff als Oxidator zu nutzen und erst in größerer Höhe auf reinen Raketenantrieb umzuschalten. Dies erlaubt es, die internen Tanks kleiner zu gestalten, die Masse des Systems zu senken und dadurch Delta v zu erhöhen. Die Flügel erzeugen noch zusätzlichen Auftrieb und entlasten so den Rückstoßantrieb. Im Jahr 1986 begannen Rolls Royce und British Aerospace das HOTOL-Konzept (Horizontal Take-off and landing) zu entwickeln. Mangels brauchbarer Fortschritte wurde es jedoch eingestellt. Inzwischen hat die Firma Reaction Engines Ltd. den Plan wieder aufgegriffen und das analoge Projekt Skylon gestartet. Dieses Weltraumflugzeug soll über sogenannte SABRE (Synergistic Air-Breathing Rocket Engine)-Triebwerke auf Wasserstoffbasis verfügen: Beim Einstrom überstreicht die Luft einen Kegel, durch den der Wasserstoff als Kühlmittel hindurchgeleitet wird. Der dadurch verflüssigte Luftsauerstoff wird teils im Triebwerk direkt zur Verbrennung eingesetzt, teils in Tanks gespeichert, damit er in größerer Höhe für den Raketenmodus zur Verfügung steht.


Die europäische Weltraumbehörde ESA hat die Entwürfe geprüft und für machbar befunden. Daher unterstützt sie nun, zusammen mit dem British National Space Centre, das Projekt finanziell.

 
 
Animation, die einen typischen Einsatz des Skylon zeigt.


Aber auch senkrecht startende SSTO-Entwürfe geisterten schon über die Zeichenbretter der Ingenieure. 1967 entwarf Philip Bono von der Douglas Aircraft Company das SASSTO-Konzept: Saturn Application Single Stage to Orbit. Die Idee war, die Oberstufe der Saturn V mit einer sogenannten Airospike-Engine effizienter und dadurch SSTO-fähig zu machen. Airospike-Triebwerke beruhen darauf, dass die Verbrennungsgase nicht in einer Glockendüse ausgestoßen werden, sondern entlang der Oberfläche eines Keils, während der Umgebungsdruck die Rolle der Glocke übernimmt. Erinnern wir uns, dass die Schubkraft für Pi=Pa (Düsenauslassdruck = Außendruck) maximal wird. Steigt das Aerospike-Triebwerk auf, nimmt der Umgebungsdruck ab, wodurch die "Düse" größer wird, was den Düsenauslassdruck automatisch an den Außendruck anpasst. Das steigert den spezifischen Impuls des Systems.

Das SASSTO-System wäre in der Lage gewesen, eine Gemini-Raumkapsel in die Umlaufbahn zu bringen, und kontrolliert, unter Benutzung der eigenen Triebwerke, zu landen. Leider wurde die Entwicklung eingestellt, unter anderem, weil das Space Shuttle einen großen Teil des NASA-Budgets zu verschlingen begann.

Wesentlich stärkere Raketen als alles bisher existierende ließen sich mit nuklearen Antrieben erreichen. Bei diesen erhitzt ein Kernreaktor ein Gas (meistens Wasserstoff), das aus dem Triebwerk ausgestoßen wird. Mit Festkernreaktoren lässt sich bereits ein rund doppelt so hoher spezifischer Impuls erreichen wie bei chemischen Antrieben. Noch wesentlich leistungsstärker wären Flüssig- oder Gaskernreaktoren, bei denen der Kernbrennstoff geschmolzen oder in gasförmigem Zustand ist, was eine Aufheizung des Reaktionsgases auf bedeutend höhere Temperaturen und somit noch höhere Ausstoßgeschwindigkeiten erlaubt. Eine Rakete mit Gaskernreaktorantrieb könnte "auf einen Rutsch" 1000 Tonnen Material in eine Umlaufbahn bringen - fast 10 mal mehr als eine Saturn V, und 40 mal mehr als ein Space Shuttle.

Dies alles verblasst jedoch im Vergleich mit dem sogenannten Orion-Antrieb: Diese Raketen verfügen über gar kein herkömmliches Triebwerk, sondern werden von kleinen Atombomben, die im Abstand von einer Sekunde hinter ihr zur Explosion gebracht werden, "vorwärtsgeschubst". Die bemannte Version verfügt (neben den nötigen Strahlenschutzvorrichtungen) über ein Stoßdämpfersystem, das die vielen Explosionsstöße in eine kontinuierliche Beschleunigung umwandelt. Orion-Raketen wären stark genug, um über 1000 Tonnen nicht etwa nur in die Erdumlaufbahn, sondern zu einem Saturnmond und wieder zurück zu transportieren - mit einer einzigen Stufe!

Beim Aufstieg in eine niedrige Erdumlaufbahn wäre eine Nutzlast von acht Millionen Tonnen möglich.

Würde der Start von einer gepanzerten Plattform mit Graphitüberzug mitten im Pazifik erfolgen, würde der nukleare Fallout vermutlich so gering ausfallen, dass niemand Gesundheitsschäden erlitte.


Orion - a Reimagining. Hier wird das Schiff zunächst von vielen
Feststoffboostern in die obere Atmosphäre gehoben, bevor die
Atombomben gezündet werden, um den Fallout gering zu halten.
Video von Rhys Taylor.


Dennoch machen der Test Ban Treaty, der Kernexplosionen in der Atmosphäre und im Weltraum verbietet, und die weit verbreitete Furcht vor nuklearen Vorrichtungen aller Art die Konstruktion einer Orion-Rakete in näherer Zukunft zumindest außerordentlich schwierig. Das ist schade, da wir solche Schiffe mit vorhandener Technologie bauen könnten, und sie es uns ermöglichen würden, das Sonnensystem in großem Stil zu erforschen und zu industrialisieren.

Aber die Menschheit kann noch reifen. Wir stehen ja noch ganz am Anfang...


Weblinks:

J. C. Newby: The History and Mathematics of Rockets

Multistage Rockets auf Winchell Chungs "Atomic Rockets"

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